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Le paradoxe de Monty Hall dont le nom est tiré d’un jeu télévisé des années 60, concerne la façon dont l’information acquise en cours de jeu modifie (ou pas) les statistiques de gain. Résolu en théorie, la question perturbe tellement notre vision du monde qu’elle continue aujourd’hui encore d’être l’objet de débats passionnés.

Les statistiques semblent, presque par nature, porter un discours positiviste. Elles sont en effet un formidable outil pour tenter de maîtriser la complexité du monde réel… Mais de nombreux « biais » menacent tout discours qui s’y réfère sans précautions : une lecture des chiffres trop simpliste peut nous amener - par exemple - à confondre corrélation et causalité… Et des phénomènes plus complexes (notamment le paradoxe de Simpson) peuvent fausser des conclusions qui semblent pourtant objectives.

Durant des siècles, la géométrie a reposé sur les postulats d’Euclide qui paraissaient éternels et irrévocables. Pourtant, l’un des postulats (le cinquième) a toujours semblé « un peu moins naturel » que les autres et des centaines de mathématiciens ont tenté en vain de s’en passer en le déduisant des autres postulats. Au milieu du XIXe siècle, Bernhard Riemann propose une idée neuve : imaginons qu’il est faux ! C’est l’acte de naissance des « géométries non- euclidiennes » qui connaitront un peu plus tard des applications majeures en physique.

Un pavage c’est une façon de couvrir un plan avec un motif répétitif… En gros, ça revient à créer un papier peint. En 1975, Marjorie Rice (1923- 2017), mère de famille et mathématicienne amateur, lit un article de Martin Gardner dans Scientific American qui liste TOUS les « pavages pentagonaux » possibles dans le plan. Un mathématicien vient justement de prouver que la liste était complète. Sauf que Marjorie, en travaillant toute seule chez elle, en trouve 4 nouveaux… Le théorème était faux !

La question est de savoir comment faire un réseau qui soit à la fois « économique » et « robuste » sans prendre trop de place. C’est une question théorique sur laquelle a travaillé le grand mathématicien russe Andrey Kolmogorov (1903-1987). Mais cette question théorique conditionne aussi la façon dont on peut construire un réseau informatique ou… un cerveau humain : pour être intelligent sans avoir la grosse tête, il faut un réseau de neurones qui soit efficace MAIS AUSSI compact !

Au départ, il y a les cinq « solides platoniciens » bien-aimés des géomètres : le cube, le tétraèdre, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre. Mais pourquoi s’arrêter aux 3 dimensions de l’espace ordinaire ? Alicia Boole Stott a consacré sa vie à chercher des solides réguliers en dimension 4… et elle a trouvé ! Voyage dans des régions mathématiques insoupçonnées par notre esprit.

Quand les mathématiques nous renseignent sur la meilleure façon d'empiler ses oranges... Formulée en 1611, la conjecture de Kepler finira par être prouvée par Thomas Hales... en 1998 ! Grâce à des méthodes informatiques peu orthodoxes pour ses collègues. La certification des démonstrations mathématiques est un chemin ardu et fastidieux.

Le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ? Derrière la trop célèbre question posée par Edward Lorenz , il y a une théorie mathématique de ce qu'on n'imaginait pas jusque là appartenir au pays des maths : les systèmes complexes comme ceux qui décrivent la météo ou encore… les affaires humaines !

Comment modéliser le mouvement d'une patate dans l'espace ? Plusieurs mathématiciens s'y sont cassés les dents. La mathématicienne Sofia Kovalevskaya a fini par obtenir à la fin du XIXe siècle un résultat important pour déterminer le mouvement d’un solide autour d’un point fixe, grâce à une toupie très spéciale. Petite expédition au coeur des systèmes intégrables, même si cela donne un peu le tournis...

Imaginez un monde où une machine pourrait calculer le vrai et le faux... Á défaut, Church, Herbrand, Gödel et Turing ont tenté chacun à leur manière de déterminer si un algorithme pouvait trancher qu'on peut démontrer ou pas une assertion mathématique. L'Entscheidungsproblem, le problème de la décision, qui a fait tanguer les maths et, au passage, posé les bases de l'informatique.